كيف تقيم تكامل sin^2(x)؟

يتم تقييم التكامل غير المحدود لـ sin^2(x) باستخدام متطابقة نصف الزاوية المثلثية sin^2(x) = (1/2)(1 - cos(2x))، مما ينتج عنه (1/2)x - (1/4)sin(2x) + c.

تكامل sin^2(x) – الاشتقاق، الصيغة والأمثلة

الاشتقاق والتقييم

أوجد التكامل:

\[ \int \sin^2 x \, dx \]

استخدم المتطابقة المثلثية \( \sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \) لإعادة كتابة التكامل:

\[ \int \sin^2 x \, dx = \dfrac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) \, dx \]

طبق قاعدة المجموع للتكاملات \( \displaystyle \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \) لإعادة كتابة التعبير:

\[ \int \sin^2 x \, dx = \dfrac{1}{2} \int 1 \, dx - \dfrac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx \]

قيم باستخدام التكاملات القياسية \( \displaystyle \int 1 \, dx = x \) و \( \displaystyle \int \cos(2x) \, dx = \dfrac{1}{2} \sin(2x) \):

\[ = \dfrac{1}{2} x - \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2} \sin(2x) \right) + c \]

حيث \( c \) هو ثابت التكامل.

بتبسيط الحدود، تُعطى النتيجة النهائية بـ:

صيغة التكامل لـ \( \sin^2 x \):

\[ \int \sin^2 x \, dx = \dfrac{1}{2} x - \dfrac{1}{4} \sin(2x) + c \]

تكامل \( \sin^2 x \)

الاشتقاق والتقييم

المزيد من المراجع والروابط